概念：反映事物特有属性的思维形式。
(资料图片)
单独概念：是指仅反映一个特定对象的概念，它的外延是一个独一无二的事物。
普遍概念：是指由若干个分子所组成的类的概念。它的外延包括许多的对象。
集合概念：把一类对象作为一个集合体来反映的概念。
非集合概念：不把一类对象作为一个集合体来放映的概念。
正概念：反映对象具有某种属性的概念。
负概念：反映对象不具有某种属性的概念。只有带否定词并使用其含义的，才是负概念。
论域：指一个正概念与其相对的负概念所反映的对象组成的类。
定义：就是揭示概念内涵的逻辑方法。揭示概念所反映的事物的特有属性的方法。
划分：揭示概念外延的逻辑方法。就是将外延较大的属概念根据一定的标准，划分出若干个外延较小的概念，从而明确概念全部外延的逻辑方法。
概念的限制：通过增加概念的内涵，以减少概念的外延的逻辑方法。即概念的限制就是从属概念过渡到种概念的逻辑方法。
概念的概括：通过减少概念的内涵，以扩大其外延的逻辑方法。
命题：陈述事物情况的思维形态。特征在于其真假性。命题有具体内容和逻辑形式，逻辑学不研究具体命题内容上真假，只研究命题形式真假性质和命题形式之间的真假关系。
模态命题：就是包含“必然”等模态词的命题。
复合命题：就是包含其他命题的命题，包括联言命题、选言命题、假言命题和负命题。
简单命题：就是没有包含其他命题的命题，主要包括直言命题和关系命题。
推理：就是由一或若干个命题推出另一个命题的思维形态。
直言命题：就是陈述事物具有或不具有某种性质的命题。（性质命题）
肯定命题：就是陈述事物具有某种性质的命题。联项一般用“是”表示。
单称命题：就是陈述一个特定事物具有或不具有某种性质的命题。主项专有名词，不需量词。
全称命题：陈述一类事物的全部分子都具有或不具有某种性质的命题。主项普遍概念，量省。
特称命题：就是陈述一类事物中至少存在着一事物具有或不具有某种性质的命题。主项普遍概念，量项不可省为“有的、有些”（其逻辑含义就是“有”即至少有一个，不排斥全部
周延性：是直言命题主项与谓项在量的方面的逻辑特征，是直言命题形式中对主项或谓项的全部外延的陈述情况。在一个直言命题形式中，如果陈述了它的主项或谓项的全部外延，那么其主项或谓项就是周延的。
直言直接推理：就是前提只有一个命题的直言推理。
A：全称肯定
E：全称否定
I：特称坑定
O：特称否定
反对关系：A 与 E 之间的关系是：不能同真，得以同假。即，当一个真时，另一个必假；当一个假时，另一个真假不定。
矛盾关系：AO、EI 之间的关系是：既不能同真也不能同假。即，一个为真时，另一个必假；当一个为假时，另一个必真。
等差关系：AI/EO 之间的真假关系：全称真，特称必真；全称假，特称真假不定；特称假，全称必假；特称真，全称真假不定。
下反对关系：IO 之间的真假关系：不能同假，可以同真。即当一个假时，另一个必真；当一个真时，另一个真假不定。
换质法：改变前命题的质（把肯定改为否定，或把否定改为肯定）。
换位法：改变前命题的主项和谓项的位置（把前提的主项改为谓项，把谓项改为主项）。
直言间接推理：又称直言三段论，也可简称为三段论。
三段论：就是由包含一个共同项的两个直言命题为前提，推出一个直言命题为结论的推理。
三段论的格：就是由于中项所处的位置的不同而构成的不同三段论形式。
在三段论的大小前提中，中项可以分别是主项或谓项，这样，中项在两个前提中的位置，共有四种不同的情况，相应的有四个格。
三段论的省略式：又称省略三段论。三由大小前提和结论组成，从逻辑结构上说，这三部分缺一不可。但是人们在运用三时，语言表达上的简洁，通常采用省略其中一个命题的形式。省略三段论就是省略大前提或小前提或结论的三段论。
关系命题：就是陈述事物之间具有某种关系的命题。
复合命题：就是包含有其他命题的命题。由肢命题和命题联结词两部分构成。
真值：“真”和“假”称为命题的逻辑值，简称真值。
真值表：判断复合命题的真值情况的专门的图表。
联言命题：陈述几种事物情况都存在的命题。
联言推理：就是前提或结论是联言命题，并根据联言命题的逻辑性质来进行的推理。
联言推理分解式：是以一个连言命题为前提，而推出其中某个联言肢作为结论的推理形式。
联言推理合成式：是以几个命题为前提，推出仅以这几个命题为联言肢的联言命题作为结论的推理形式。
选言命题：陈述几种事物情况之中至少有一种事物情况存在的命题。肢命题为选言肢，联结词主要是“或者”一词。
相容选言命题：就是其选言肢可以同真的选言命题。链接词是“或者”。V 析取式。
不相容选言命题：陈述其选言肢中有并且只有一个选言肢为真的选言命题。“要么，要么”V`严格析取式
相容选言推理：前提中有一个是相容选言命题，并根据相容选言命题的逻辑性质进行的推理。
假言命题：又称条件命题，它是陈述某一种事物情况是另一种事物情况的某种条件的命题。假言联结词“如果（前件），那么（后件）”或“只有，才”。
充分条件假言命题：其假言联结词为“如果……，那么……”的假言命题，陈述前件是后件的充分条件。P→q 蕴含式。
充分条件：皆有两个分别为 p,q 的事物情况，如果有 p，就必然有 q，而没有 p 是否有 q不确定，这样 P 就是 q 的充分条件。
必要条件假言命题：其假言联结词为“只有，才”的假言命题。陈述前件是后件的必要条件。P←q 逆蕴含式
必要条件: 皆有两个分别为 p,q 的事物情况，如果没有 p，就必然没 q，而有 p 却未必有q，这样 P 就是 q 的必要条件。
充分必要条件假言命题：假言联结词为“当且仅当”的假言命题。陈述前件是后件的充分必要条件。P↔ q 等值式
假言易位推理：其前件为一个假言命题，而结论是将前提的前、后件既互换位置又同取否定的同种的假言命题这样一种必然性推理。
假言连锁推理：就是以两个一上的假言命题为前提，并且根据条件关系的传递性而推出一个假言命题为结论的推理。
充分条件假言连锁推理式：P→q，q→r 所以 p→r。
必要条件假言连锁推理式：p←q，q←r，所以 p←r。
二难推理：假言选言推理中的一种。假言选言推理就是由假言命题和选言命题作为前提所构成的推理。其中，有两个充分条件假言命题和一个二肢的选言命题作为前提，并且根据充分条件假言命题和选言命题的逻辑性质进行的推理，在传统逻辑中称为儿难推理。
驳斥：就是揭露其中隐藏的错误。
“构造一个相反的二难推理”的方法：通过构造出一个与原二难推理相反的二难推理，并从其中推出相反的结论，来达到驳斥原二难推理的目的。
负命题：就是否定某个命题的命题，它是有命题联结词“并非”联结一个肢命题而成的。
模态命题：陈述事物情况的必然性或可能性的命题。其基本特征就是在命题中包含有“必然”“可能”一类模态词。（也是狭义的模态命题，又称真值模态命题）
可能世界：指人们能够合乎逻辑的设想出来的各种各咋样的情况或场合，他们在现实当中不一定存在，但在逻辑上却是可能的。现实世界只是许许多多可能世界中的一个可能世界。非现实的可能世界却并不意味着另外某个星球或在另外某个物理空间中的世界，它是人们想象的世界，存在于人民的想象之中。
规范模态命题：简称规范命题，他陈述的是约束人们行为的某种命令或规定。基本特征是在命题中含有“必须”“允许”“禁止”一类的规范模态词（简称规范词）。由于禁止=必须不，所以规范词可以归结为：必须和允许。
或然性推理：就是前提和结论具有或然推出关系的推理。
回溯推理：又称溯原推理，就是在已知两个事物或现象之间具有因果联系的基础上，由结果推测原因的推理。
不完全归纳推理：也称简单枚举归纳推理。就是根据一类对象中部分对象具有某属性，并且没有遇到反例，从而推出该类对象都具有该属性的推理。
穆勒五法：探求因果联系的方法有求同法、求异法、求同求异并用法、共变法和剩余法。
求同法：又称契合法。如果被研究的现象出现的若干场合中，其他先行情况都不同，只有一个情况相同，那么，这个唯一相同的情况与被研究的现象之间就有因果联系。特点是“异中求同”。
求异法：又称差异法。如果被研究的现象出想喝不出现的两个场合中其他现行情况都相同，只有一个情况不同，那么这个唯一不同的情况与被研究的现象之间就有因果联系。特点是“同中求异”。
求同求异并用法：又称并用法。如果在被研究的现象出现的一组正面场合中，都存在一个公共的先行情况，而在被研究的现象不出现的另一组反面场合中，都不存在这个共同的先行情况，那么，这个共同的先行情况与被研究的现象之间就有因果联系。特点“两次求同，一次求异”。
共变法：如果在被研究的现象发生变化的各个场合中，其他先行情况都不变，只有一个先行情况发生变化，那么这个唯一发生变化的先行情况与被研究现象之间就有因果联系。特点“同中求变”
剩余法：如果已知某一复合现象是另一复合现象的原因，同时又知前一复合现象中的某一部分是后一复合现象中某一部分的原因，那么前一复合现象中的剩余部分与后一复合现象中的剩余部分之间就有因果联系。特点“从余果求余因”。
类比推理：由两个（或两类）对象在某些属性上相同或相似，从而推出它们在另一个属性上也相同的推理。
假说：就是根据已知的事实材料和科学原理，对未知的事物现象及其规律性作出假定性解释的思维形式。
同一律：在同一思维的过程中，任一思维都必须保持自身的同一，不能任意改变。公式是：A 是 A ，或 A→A。（思维的确定性要求概念和命题必须保持自身的同一。）
矛盾律：在同一思维的过程中，两个互相矛盾的思想不能同真，即对同一事物不能既肯定它是什么，又否定它是什么，其中必有一假。公式：A 不是非 A（思维的确定性要求运用命题时前后不能自相矛盾）。
排中律：在同一思维过程中，两个互相矛盾的思想不能同假，其中必有一真。公式：A或者非 A，或者表示排斥。（思维的确定性要求在两种互相矛盾的思想中，不能“两不可”）。
证明：一般包括事实证明（又称经验证明）和理论证明（又称逻辑证明）。
事实证明：就是在实践活动的基础上根据确凿的事实直接确定某命题的事实性的证明。
理论证明：就是用一个或若干个已知为真的命题，通过推理来确定另一个命题真实性的思维过程。
直接证明：就是从真实论据直接推出论题的证明。特点是从论题出发，为论题的真实性提供正面的理由。
间接证明：就是通过证明与原论题相关的其他论题为假，从而推出原论题为真的证明。特点是论题的真实性不是从论据的真直接推出的，而是从其他的假间接推出的。
反证法：通过证明反论题（与原论题具有矛盾关系或下发对关系的命题）为假，从而根据排中律，推出原论题为真的证明方法。
选言证法：就是通过证明与原命题相关的其他命题为假，从而推出原命题为真的证明方法。
反驳：一种特殊的证明，即用一个或若干个已知为真的命题来确定另一个命题为假或其证明不能成立的思维过程。
直接反驳：就是根据一个或一些命题的真实性，直接推出对方命题的虚假性的反驳方法。
独立证明法：就是通过证明与对方的命题具有矛盾关系或反对关系的命题的真实性，从而根据矛盾律，确定对方的命题的虚假性的反驳方法。
归谬法：就是从被反驳命题出发，推出与事理相矛盾的结论，或推出逻辑矛盾，从而证明被反驳命题虚假的反驳方法。
谬误：就是指人们在思维活动中，自觉或不自觉的违反思维规律或规则而发生的逻辑错误。人们通常把不是故意犯的逻辑错误称为谬误，而把故意反逻辑规律或规则进行似是而非的论证称为诡辩。
命题逻辑：所探究的是其前提与结论皆有未解析的命题组成的演绎推理。特征在于，研究和考察逻辑形式时，把一个复合命题只分析到其中所含的简单命题为止，而不是把一个简单命题再分析为其主项、谓项及量项等各种成分。
真值函应：一个函数如果其自变元所取之值为“真值”，而该函数本身由此取值为“真值”，则该函数称为真值函应。
函应：作为数学中函数关系在逻辑领域中的推广和具体运用，函数称为函应（函项），变量称为变项，而变项所取的值并非是数值而是真值或假值。
真值蕴含涵：相当于假言命题中前件与后件间之内在关联的真值函应，称为真值蕴涵。
重言式：对于一个真值函应，如不论其中的自变项取值真假，而该函应之真值为“真”，则该函应为重言式，因重言式其值常真，因此亦称为永真式。
矛盾式：对于一个真值函应，如不论其中自变项取值真或假，而整个函应式之真值为“假”，则该函应式为逻辑矛盾式。与重言式相反，逻辑矛盾式的值常假。
公理系统：借公理方法，即依据一些最基本的初始命题（不证自明的公理）按照演绎推理的规则而推导一系列定理、命题所建构的完整的演绎体系，如欧几里得几何学。
任一公理系统所需满足的条件：相容性（无矛盾一致性）、完备性（完全性）、独立性（不可推演性）。
公理：多是基于人类长期反复实践的验证众所公认其真实性，无需其他命题证明而不证自明的命题。
论域：简言之，即论题的一定范围，亦即全类，也可表示为“1”。
谓词演算：将谓词逻辑的推理形式和规律组成一个形式化的公理系统即所谓谓词演算。
谓词逻辑：就是把简单命题进而分析为其主项、谓项和量项并借以研究命题的形式结构及其推理的规律与规则的逻辑演算理论。
主项：命题中表示思维对象的词项称为主项（主词）。
谓项：而将表示对象性质或关系的词项称为谓项（谓词）。
变项：表示某类特定事物中任一个体的项称为变项。
变项的变程：如果一个变项反映某类事物中的任一个，则该类事物就是这个变项的变程。
量项：命题中表示数量性质的词项，现代形式逻辑有两个量项，即全称量项与存在量项。全称量项相当于自然语言中的“一切”“所有的”“凡”等等；存在量项相当于自然语言中的“有的”“有”“至少有一”等等。
量词的辖域：是量词所约束的范围。
重叠量项：有先后次序的量项序列。
普遍有效的公式：不论其中变项取什么值，其结果总是真的公式。简称普效式。
补充篇：
1. 非对称关系：在特定领域里，如果aRb真，那么bRa可能真也可能假，在这种情况下，关系R就是。
2. 反变关系：概念的内涵越多，则外延越小；内涵越少，外延越大。
3. 属种关系：一个概念的的全部外延与另一个概念的部分外延重合的关系。
4. 三段论中的“四概念”错误：指在一个三段论中出现了四个不同的概念。
5. 循环定义：定义项依赖于被定义项来解释。
（即是用A定义B，再用B定义A或者A定义 B，用B定义C，用C定义A）
6. 概念间的交叉关系：指一个概念的部分外延与另一个概念的部分外延重合的关系。
7. 真包含关系：一个概念的部分外延与另一个概念的全部外延重合的关系。
（A真包含B：B都是A，但有的A不是B）
8. 定义过宽：定义项的外延大于被定义项的外延。
9. 本质属性：是一类对象共同具有，且仅为该类对象所具有的属性。
10. 中项：不在结论中出现，在前提中出现两次，这个词项称为中项。
11. 演绎推理：从一般性的命题引出个别性命题，通过从已知前提中推断出结论的逻辑推理方式。前提真必然推出结论真的推理，一种必然的推理。优点是由定义根本规律等出发一步步递推，逻辑严密结论可靠，且能体现事物的特性。缺点是缩小了范围，使根本规律的作用得不到充分的展现。
12. 归纳推理：从个别性的命题引出一般性命题，通过观察已知的经验来推断出普遍性规律的推理方式。前提真可能支持结论但不能保证必然真的论证，一种或然的推理。优点是能体现众多事物的根本规律，且能体现事物的共性。缺点是容易犯不完全归纳的毛病。
13. 内涵：概念的内涵是概念所反映对象的本质属性。
14. 定义：在适当的概念陈述中，如果断定了相关概念的本质属性，则称为定义。
15. 外延：概念的外延是概念所反映的对象类。
16. 判断：判断是对对象所有断定的思维形式。
综合：综合也称逻辑判断，是思考和推理的基本过程。在这个过程中，人们将多个小部分的观点和证据结合起来，以得出一个总的结论。
反论：反论也称为反证法、背理法。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
推理（reasoning）：推理是指一个为信念、结论、行动或感觉寻找理由的认知过程。
(推理是基于一些事实或前提，以某种逻辑推论而推断出新的结论的过程。)
推论（inference）：推论指从前提推导出结论的行为和过程。
论证（argument）：论证是一个有意义的陈述所组成的命题序列，其中，一个命题被认为是结论，其余命题被认为是前提。论证是指论证者为自己的主张（结论）提出理由（前提）并企图说服目标听众接受该主张的过程和结果。
证明（prove）：证明即是形式证明的简称，又被成为推演（derivation），是指一个有穷语句串，其中，每一语句或者是公理或者是根据推论规则从先前语句推导出来的。在这个串中，最后一个语句是形式系统的定理。
分辨：分辨是在从事推理过程中，对事实和论点间的关系的分析。这样可以对推理过程中可能出现的错误、偏见或漏洞予以剖析，从而得出正确的结论。
可证明的：可证明的是指那些观点和结论，其依据能够被正确推理得到
不可证明的：不可证明的是指那些观点和结论，其依据不能够被正确推理得到，必须要有其他的方法来支持他们。
主体间性：即在主体与主体之间应该是能够加以充分交流和充分理解的，能够有一个客观的衡量的东西。
命题逻辑：研究简单命题或复合命题之间的逻辑关系。
命题逻辑的最小单位是命题。
谓词命题的最小单位是词项。
简单命题：不包含其他命题的命题。
复合命题：包含其他命题的命题。
复合命题的两个基本组成部分：
支命题（真值涵项），一个复合命题所包含的其他命题。
联结词，把各个命题联结起来的词项。
常项：具有确定含义的符号或语词。
命题常项和命题变项的区别：
命题常项表示命题的缩写，用大写字母表示；
命题变项表示待填入命题的空位，用小写字母表示。
变域：变项的变化范围。
p和q的变域的三种情况：
命题的集合——命题变项
词项的集合——词项变项
个体的集合——个体变项
真值涵项复合命题：其真值唯一地决定于其支命题（真值涵项）的真值。
真值涵相联结词：构成真值涵项复合命题的联结词。
之所以叫“真值函项”，因为它是复合命题中包含的项，复合命题很像一个函数，但定义域和值域仅限真值，即{T，F}。
老王吃饭并且喝茶。
老王先吃饭再喝茶。
前者，老王吃饭真，老王喝茶真，则老王吃饭并且喝茶真，其真值唯一地决定于其支命题的真值。
后者，老王吃饭真，老王喝茶真，则老王先吃饭再喝茶不一定真，其真值不能唯一地决定于其支命题的真值。
老王怀疑老刘是个罪犯。
若刘某是个罪犯为真，则老王怀疑老刘是个罪犯真假不知。
若刘某是个罪犯为假，则老王怀疑老刘是个罪犯真假不知。
地球自转并且地球围绕太阳公转。
逻辑学中代表“并且”的符号读作“合取”。
支命题叫做“合取支”。
干命题叫做“合取命题”。
自然语言与逻辑语言的区别：
他睡觉并且打呼噜。
他打呼噜并且睡觉。
逻辑学中代表或者的符号读作“析取”。
支命题叫做“析取支”。
干命题叫做“析取命题”。
由“并非”联结的复合命题叫做一项复合命题，其它连接词联结的复合命题叫二项复合命题。
被否定词否定的命题叫做“原命题”。
否定命题=“并非”+原命题
蕴含词和蕴含命题：
逻辑学中用“→”代表“如果……那么……”，读作“蕴含”，叫做“蕴含词”，组成的复合命题叫“蕴含命题”。
蕴含命题的符号化：P→Q。
“P”所表达的支命题叫做“前件”，“Q”所表达的支命题叫做“后件”。
实质蕴涵与严格蕴涵。
实质蕴涵：逻辑学中只由前件和后件真假决定的蕴涵。
严格蕴涵：逻辑学中考虑前件和后件内容联系的蕴涵。
实质蕴含是严格蕴含的必要条件，严格蕴涵是实质蕴涵的充分条件。
总之，如果一个蕴涵命题的前件真而后件假，那么该命题无论作为实质蕴涵命题还作为严格蕴涵命题都是假的。如果一个蕴涵命题并非前件真而后件假，那么该命题作为实质蕴涵命题是真的；但作为严格蕴涵命题则可能真也可能假，这取决于前件和后件之间有无必然联系：若有则真，若无则假。比起实质蕴涵命题，严格蕴涵命题更接近于日常语言的蕴涵命题。
逻辑学中代表“当且仅当”的符号读作“等值”，组成的复合命题叫做“等值命题”。
“P”所表达的支命题叫做“左支”，“Q”所表达的支命题叫做“右支”。
实质等值：A和B具有相同的真值，只考虑真假，不考虑内容的联系。
严格等值：应用于模态，既考虑真假，又考虑内容的联系。
等值演算：应用基本等值式及代换进行演算。
严格等值基本等值式（Equivalence），即重言式。
双重否定律：┐┐A⇔A
幂等律：A∧A⇔A A∨A⇔A
交换律：A∨B⇔B∨A A∧B⇔B∧A
结合律：（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C） （A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）
分配律：A∨（B∧C）⇔（A∨B）∧（A∨C） A∧（B∨C）⇔（A∧B）∨（A∧C）
德摩根律：┐（A∨B）⇔┐A∧┐B ┐（A∧B）⇔┐A∨┐B
零律：A∨1⇔1 A∧0⇔0
排中律：A∨┐A⇔1
矛盾律：A∧┐A⇔0
蕴涵等值式：A→B⇔┐A∨B
等价等值式：A↔B⇔（A→B）∧（B→A）
假言易位：A→B⇔┐B→┐A
归谬论：（A→B）∧（A→┐B）⇔┐A
逻辑学中命题涉及的三层语言：自然语言命题、符号语言命题、表达符号语言命题的符号。
对于不能被真值函项使用的联结词，首先要对它们做出真值函项的释义，之后才能用真值函项联结词加以表达。
“尽管……但是……”，经过真值函项的释义，属于合取联结词。
尽管你狠，但是无产者无惧。
“既然……那么……”，经过真值函项的释义，属于合取联结词。
既然我怎么努力都达不到你的要求，那么我不如按自己的计划来。
“不是……就是……”，经过真值函项的释义，属于析取联结词。
不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
“……是假的”=“并非”。
他过得很惨是假的。
a是b的充分条件＝有a则有b，无a未必无b。
a是b的必要条件＝无a则无b，有a未必有b。
a是b的充要条件＝有a则有b，无a则无b。
只有=仅当，紧跟“只有”或“仅当”的条件是必要条件，必要条件写在蕴含符号的后面。
紧跟“如果”的是充分条件，充分条件写在蕴含符号的前面。
如果并且只有=当且仅当。
主联结词：在包含多个联结词的复合命题中，处于括号最外面的联结词决定该复合命题的主要逻辑性质，这个联结词叫做复合命题的主联结词。
直接支命题：由主联结词联结的支命题，叫做复合命题的直接支命题。
原子支命题=基本支命题：命题常项是复合命题的最小元素。
分子命题：由原子命题构成的复合命题。
小星不是学习就是锻炼，并且他不加班也不请假。
X：小星学习 D：小星锻炼 B：小星加班 J：小星请假
符号化：(X∨D)∧(┑B∧┑J)
如果一个人是勤奋的，并且聪明或者健康，那么他是幸福的；如果一个人既不聪明又不健康，那么他不幸福。
Q：一个人勤奋 C：一个人聪明 J：一个人健康 X：一个人幸福
(Q∧(C∨J)→X)∧((┑C∧ ┑J)→┑X)
一般情况下，“，”和“；”代表并列关系，相当于合取词。
含有多个括号的复合命题，省略括号的规则：先“∨”和“∧”，后“→”和“↔”。
形式语言的语法是构成形式系统的公式集、公理集和规则集的法则。
形式语言的语义是关于形式系统的解释和意思。
归纳定义和归纳证明
一个集合的归纳定义(inductive definition)通常分为三步：
归纳基：一些基本的元素属于该集合；
归纳步：定义一些规则(或者说操作), 从该集合中已有的元素来生成该集合的新的元素；
最小化：该集合中的所有元素都是通过基本元素以及所定义的规则生成的,换句话说,该集合是由基本元素及规则所生成的最小的集合.
自然数集 N 的归纳定义：
1. 归纳基：0 是一个自然数，即0∈N。
2. 归纳步：若n 是自然数，则n 的后继也是自然数。记n 的后继为succ(n)，即若n∈N，则succ(n)∈N。为方便起见，后面也记n 的后继为n+1。
3. 最小化：所有的自然都通过步骤1和2得到,或者说自 然数集是通过步骤1和2得到的最小集合。
形式系统s有四个集合（表）：符号表、公式表、公理集、元规则。
形式系统两个特征：
1. 形式化是一个机械实现的过程，在它里面，符号、规则、演算等被表示得严密、精确。在其系统中，只能使用规定的符号、公理集，根据规则推出有意义的东西来。
2. 形式系统一旦完成，系统与一切实际意义不相干，完全是抽象意义。
演绎推理的基本形式是三段论式，它包括：
（1）大前提，是已知的一般原理或一般性假设；
（2）小前提，是关于所研究的特殊场合或个别事实的判断， 小前提应与大前提有关；
（3）结论，是从一般已知的原理（或假设）推出的，对于特殊场合或个别事实作出的新判断。
• 形式语言中用符号构成公式.公式来表示命题. 形式语言中的公式能够精确地表示命题的逻辑形式.
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